МатематикTier 0 · Үнэгүй
🔥 Дунд 22 мин

🟰 Квадрат тэгшитгэл ба Виетийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийн стандарт хэлбэр, дискриминант, язгуурын формул, үржвэрт задлал, Виетийн теорем ба параболын орой. ЭЕШ-д жил бүр гарцаагүй гарч ирдэг гол сэдэв — алхам алхмаар, олон жишээтэй.

1

Энэ юунд хэрэгтэй вэ?

Квадрат тэгшитгэл бол ЭЕШ-ийн математикийн **хамгийн их давтагддаг** хэсэг. Шууд тэгшитгэл бодохоос гадна функцийн их/бага утга, парабол график, тэгш бус байдал, бодлогын текстэн дотор (хурд, талбай, цаг) нуугдаж олон удаа гарч ирнэ. Тиймээс эндхийн 3 зүйлийг **цээжээр** мэдэж байх ёстой: дискриминант D=b2−4acD=b^2-4ac, язгуурын формул, Виетийн теорем.

Бид доор дарааллаар нь үзнэ: (1) тэгшитгэл хэдэн язгууртай вэ гэдгийг дискриминантаар, (2) язгуурыг формулоор болон үржвэрт задлалаар олох, (3) язгуурыг бодохгүйгээр Виетээр ажиллах, (4) парабол ба түүний орой. Алхам бүрд бодсон жишээ дагалдана.

2

Стандарт хэлбэр ба дискриминант

**Квадрат тэгшитгэл** гэдэг нь хувьсагчийн хамгийн өндөр зэрэг нь 2 байх тэгшитгэл юм. Ерөнхий буюу стандарт хэлбэр нь дараах байдалтай (a≠0a\neq 0):

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0
стандарт хэлбэр, a≠0a\neq 0

Энд aa нь x2x^2-ийн коэффициент (тэргүүлэх коэффициент), bb нь xx-ийн коэффициент, cc нь чөлөөт гишүүн. a=0a=0 бол x2x^2 алга болж, энгийн шугаман тэгшитгэл болох тул заавал a≠0a\neq 0 байх ёстой. Эхлээд бодлогоо **стандарт хэлбэрт** оруул — бүх гишүүнийг нэг тал руу шилжүүлж, нөгөө талыг 00 болго. Жишээ нь x2+5=6xx^2+5=6x бол x2−6x+5=0x^2-6x+5=0 болгож бичнэ.

Тэгшитгэлд язгуур байгаа эсэх, хэдэн язгууртай болохыг **дискриминант** DD шийднэ. Тэр нь зөвхөн a,b,ca,b,c коэффициентээс хамаарна:

D=b2−4acD=b^2-4ac
дискриминант

Дискриминантын тэмдгээс язгуурын тоо хамаарна:

D>0D>0
хоёр өөр бодит язгууртай
D=0D=0
нэг (давхар) бодит язгууртай
D<0D<0
бодит язгуургүй
📝 Бодлого 0 — хэдэн язгууртай вэ?
3x2−4x+2=03x^2-4x+2=0 тэгшитгэл хэдэн бодит язгууртай вэ?
  1. 1a=3a=3, b=−4b=-4, c=2c=2.
  2. 2D=b2−4ac=(−4)2−4⋅3⋅2=16−24=−8D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot3\cdot2=16-24=-8.
  3. 3D=−8<0D=-8<0 тул тэгшитгэл **бодит язгуургүй**.
Зөвлөмж: ЭЕШ-д ихэвчлэн 'тэгшитгэл хэдэн язгууртай вэ?' эсвэл 'параметр mm-ийн ямар утганд язгууртай вэ?' гэж асууна. Бараг үргэлж эхлээд D=b2−4acD=b^2-4ac-ийг бод. Бодохгүйгээр зөв хариулах боломжгүй. Тэмдгийн алдаа гаргахгүйн тулд bb сөрөг байвал хаалтанд хийж (−4)2(-4)^2 гэж бич.
3

Язгуурын формул

D≥0D\geq 0 үед язгуурыг шууд олох ерөнхий формул:

x=−b±D2ax=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
D=b2−4acD=b^2-4ac

Энд ±\pm тэмдэг нь хоёр язгуурыг өгнө: D\sqrt{D}-г нэмж x1x_1, хасч x2x_2-ыг гаргана. D=0D=0 үед x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a} ганц язгуур үлдэнэ.

📝 Бодлого 1
x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 тэгшитгэлийг бод.
  1. 1Коэффициентууд: a=1a=1, b=−5b=-5, c=6c=6.
  2. 2D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1>0D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0, тэгэхээр хоёр язгууртай.
  3. 3x=−b±D2a=5±12=5±12x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{5\pm1}{2}.
  4. 4x1=5+12=3x_1=\dfrac{5+1}{2}=3, x2=5−12=2\quad x_2=\dfrac{5-1}{2}=2.
📝 Бодлого 1б — бутархай язгуур
2x2+3x−2=02x^2+3x-2=0 тэгшитгэлийг бод.
  1. 1a=2a=2, b=3b=3, c=−2c=-2.
  2. 2D=32−4⋅2⋅(−2)=9+16=25D=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25, D=5\sqrt{D}=5.
  3. 3x=−3±52⋅2=−3±54x=\dfrac{-3\pm5}{2\cdot2}=\dfrac{-3\pm5}{4}.
  4. 4x1=−3+54=24=12x_1=\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac12, x2=−3−54=−2\quad x_2=\dfrac{-3-5}{4}=-2.
Зөвлөмж: Энгийн язгууртай (бүхэл тоо гарах) бодлогод язгуурыг үржвэрт задлах нь формулоос хурдан: x2−5x+6=(x−2)(x−3)=0x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0. Гэхдээ эргэлзвэл DD-тэй формул найдвартай.
4

Үржвэрт задлал ба дутуу тэгшитгэл

Хэрэв язгуурууд нь сайхан бүхэл тоо бол **үржвэрт задлах** нь формулоос хурдан. Санаа нь: x2+px+q=0x^2+px+q=0-д нийлбэр нь −p-p, үржвэр нь qq болох хоёр тоо ол. Жишээ нь x2−7x+12x^2-7x+12: үржвэр 1212, нийлбэр 77 → 33 ба 44 → (x−3)(x−4)=0(x-3)(x-4)=0.

x2−(x1+x2)x+x1x2=(x−x1)(x−x2)x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2=(x-x_1)(x-x_2)
задлалын ерөнхий хэлбэр

**Дутуу (бүрэн бус) квадрат тэгшитгэл** гэж b=0b=0 эсвэл c=0c=0 байх тохиолдол. Эдгээрийг формул хэрэглэлгүй шууд бодно:

ax2+c=0  ⇒  x2=−caax^2+c=0\;\Rightarrow\;x^2=-\frac{c}{a}
b=0b=0 үед
ax2+bx=0  ⇒  x(ax+b)=0ax^2+bx=0\;\Rightarrow\;x(ax+b)=0
c=0c=0 үед: x=0x=0 эсвэл x=−bax=-\tfrac{b}{a}
📝 Бодлого 1в — дутуу тэгшитгэл
3x2−12x=03x^2-12x=0 ба x2−9=0x^2-9=0 тэгшитгэлүүдийг бод.
  1. 13x2−12x=0⇒3x(x−4)=0⇒x=03x^2-12x=0\Rightarrow 3x(x-4)=0\Rightarrow x=0 эсвэл x=4x=4.
  2. 2x2−9=0⇒x2=9⇒x=±3x^2-9=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm3.
  3. 3Дутуу тэгшитгэлд дискриминант бодох шаардлагагүй — задлал/язгуур шууд гарна.
Зөвлөмж: c=0c=0 тохиолдолд хоёр талыг xx-д хувааж болохгүй! Тэгвэл x=0x=0 язгуур алдагдана. Заавал xx-ийг хаалтнаас гаргаж үржвэрт задал.
5

Параметртэй бодлого (ЭЕШ-ийн дуртай)

ЭЕШ-д 'mm-ийн ямар утганд тэгшитгэл нэг язгууртай вэ?' гэх мэт асуулт байнга гарна. Гол санаа: язгуурын тоо нь зөвхөн DD-ийн тэмдгээс хамаардаг тул нөхцөлийг DD-ээр бичнэ. Нэг (давхар) язгууртай байх нөхцөл нь D=0D=0.

📝 Бодлого 1г — параметр
x2−6x+m=0x^2-6x+m=0 тэгшитгэл давхар (нэг) язгууртай байх mm-ийг ол.
  1. 1a=1a=1, b=−6b=-6, c=mc=m.
  2. 2Давхар язгуур = D=0D=0.
  3. 3D=(−6)2−4⋅1⋅m=36−4m=0D=(-6)^2-4\cdot1\cdot m=36-4m=0.
  4. 436=4m⇒m=936=4m\Rightarrow m=9.
6

Виетийн теорем ба парабол

Язгуурыг бодолгүйгээр л тэдгээрийн **нийлбэр** ба **үржвэрийг** коэффициентээр илэрхийлж болно. Үүнийг **Виетийн теорем** гэнэ:

x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a}
язгуурын нийлбэр
x1x2=cax_1 x_2=\frac{c}{a}
язгуурын үржвэр

Маш олон бодлогод x12+x22x_1^2+x_2^2 мэтийн илэрхийлэл асуудаг. Язгуурыг бодохгүйгээр Виетээр дамжуулан гаргадаг гол арга:

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2
нийлбэр ба үржвэрээр илэрхийлэх
📝 Бодлого 2
2x2−8x+6=02x^2-8x+6=0 тэгшитгэлийн язгуурын хувьд x12+x22x_1^2+x_2^2-ыг ол.
  1. 1Коэффициентууд: a=2a=2, b=−8b=-8, c=6c=6.
  2. 2Виетээр: x1+x2=−ba=−−82=4x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-8}{2}=4.
  3. 3x1x2=ca=62=3x_1 x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{6}{2}=3.
  4. 4x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=42−2⋅3=16−6=10x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=4^2-2\cdot3=16-6=10.

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c функцийн график бол **парабол**. Түүний орой (хамгийн доод эсвэл дээд цэг)-ийн xx координат нь:

x=−b2ax=-\frac{b}{2a}
параболын оройн абсцисс

a>0a>0 үед парабол дээшээ нээгдэх тул орой нь **хамгийн бага** утга, a<0a<0 үед доошоо нээгдэх тул орой нь **хамгийн их** утгыг өгнө. Тэр утгыг олохдоо x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a}-ыг функцэд орлуулна.

Зөвлөмж: 'Функцийн хамгийн бага/их утга' эсвэл 'парабол ямар цэгт оройтой вэ' гэсэн ЭЕШ-ийн бодлогод x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a}-ийг тэр даруй хэрэглэ. aa-ийн тэмдгээр бага уу их үү гэдгийг шууд хэлж болно.
7

Өөрийгөө шалгах

✦ Шалгах асуулт
x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 тэгшитгэлийн язгуурууд аль нь вэ?
✦ Шалгах асуулт
2x2−8x+6=02x^2-8x+6=0 тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр x1+x2=?x_1+x_2=?
✦ Шалгах асуулт
x1+x2=4x_1+x_2=4, x1x2=3x_1 x_2=3 бол x12+x22=?x_1^2+x_2^2=?
✦ Шалгах асуулт
x2−6x+m=0x^2-6x+m=0 давхар язгууртай байх m=?m=?
✦ Шалгах асуулт
3x2−12x=03x^2-12x=0 тэгшитгэлийн язгуурууд нь?

Видео тайлбар

Гол санааг алхам алхмаар тайлбарласан богино видео.

🎬 Виетийн теоремоор m олох
🎯 Энэ хичээлийг дуусгалаа. Бодит сорилоор бэлдэхэд бэлэн үү?