ЭЕШ.online — ЭЕШ-д бэлдэх хамгийн энгийн арга

1Энэ юунд хэрэгтэй вэ?

ЭЕШ-ийн математикт квадрат тэгшитгэлгүй жил бараг байдаггүй. Энэ сэдвийг сайн мэдвэл хэд хэдэн бодлогын оноо шууд таных болно.

Квадрат тэгшитгэл бол ЭЕШ-ийн математикийн хамгийн их давтагддаг хэсэг. Шууд тэгшитгэл бодохоос гадна функцийн их/бага утга, парабол график, тэгш бус байдалд гарч ирнэ. Мөн бодлогын текстэн дотор (хурд, талбай, цаг) нуугдаж ирдэг.

Тиймээс эндхийн 3 зүйлийг цээжээр мэдэж байх ёстой: дискриминант $D=b^2-4ac$ , язгуурын формул, Виетийн теорем.

Бид дарааллаар нь үзнэ: (1) хэдэн язгууртайг дискриминантаар, (2) язгуурыг формулоор болон үржвэрт задлалаар олох, (3) язгуурыг бодохгүйгээр Виетээр ажиллах, (4) парабол ба түүний орой.

2Стандарт хэлбэр ба дискриминант

Квадрат тэгшитгэл гэдэг нь хувьсагчийн хамгийн өндөр зэрэг нь 2 байх тэгшитгэл юм. Ерөнхий буюу стандарт хэлбэр нь дараах байдалтай ( $a\neq 0$ ):

ax^2+bx+c=0

стандарт хэлбэр,

a\neq 0

Энд $a$ нь $x^2$ -ийн коэффициент (тэргүүлэх коэффициент), $b$ нь $x$ -ийн коэффициент, $c$ нь чөлөөт гишүүн. $a=0$ бол $x^2$ алга болж, энгийн шугаман тэгшитгэл болно. Тиймээс заавал $a\neq 0$ байх ёстой.

Эхлээд бодлогоо стандарт хэлбэрт оруул. Бүх гишүүнийг нэг тал руу шилжүүлж, нөгөө талыг $0$ болго. Жишээ нь $x^2+5=6x$ бол $x^2-6x+5=0$ болгож бичнэ.

Тэгшитгэлд язгуур байгаа эсэх, хэдэн язгууртайг дискриминант $D$ шийднэ. Тэр нь зөвхөн $a,b,c$ коэффициентээс хамаарна:

Энгийнээр: Дискриминант бол гэрлэн дохио шиг. Ногоон (

D>0

) бол хоёр язгуур, шар (

D=0

) бол ганц язгуур, улаан (

D<0

) бол бодит язгуур байхгүй. Язгуурыг бодохоос өмнө хэдэн ширхэг байгааг хэлж өгдөг.

D=b^2-4ac

дискриминант

Дискриминантын тэмдгээс язгуурын тоо хамаарна:

D>0

хоёр өөр бодит язгууртай

D=0

нэг (давхар) бодит язгууртай

D<0

бодит язгуургүй

Нүдээрээ хар

Парабол

x

тэнхлэгийг хэдэн цэгт огтлох нь язгуурын тоо юм.

Бодлого 0. Хэдэн язгууртай вэ?

3x^2-4x+2=0

тэгшитгэл хэдэн бодит язгууртай вэ?

Эхлээд өөрөө оролдоод үз.

ЭЕШ-д ихэвчлэн 'тэгшитгэл хэдэн язгууртай вэ?' эсвэл 'параметр

m

-ийн ямар утганд язгууртай вэ?' гэж асууна. Бараг үргэлж эхлээд

D=b^2-4ac

-ийг бод.

Чит код

$a$ , $c$ эсрэг тэмдэгтэй бол $D$ бодох хэрэггүй

a\cdot c<0

бол

-4ac>0

, тэгэхээр

D=b^2-4ac

заавал эерэг. Хоёр өөр язгуур гарцаагүй. Жишээ нь

2x^2+7x-3=0

:

a=2>0

,

c=-3<0

, шууд л 2 язгууртай.

ЭЕШ-ийн заль.

b

сөрөг үед

b^2

-ийг

-4^2=-16

гэж бодуулахаар сонголт тавьдаг. Сөрөг тоог заавал хаалтанд хий:

(-4)^2=16

.

b^2

хэзээ ч сөрөг гарахгүй.

Шалгах асуулт

x^2+4x+4=0

тэгшитгэл хэдэн бодит язгууртай вэ?

3Язгуурын формул

$D\geq 0$ үед язгуурыг шууд олох ерөнхий формул:

x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

D=b^2-4ac

Энд $\pm$ тэмдэг нь хоёр язгуурыг өгнө: $\sqrt{D}$ -г нэмж $x_1$ , хасч $x_2$ -ыг гаргана. $D=0$ үед $x=-\dfrac{b}{2a}$ ганц язгуур үлдэнэ.

Чит код

Хариугаа тэгшитгэлд тавь

Сонголтод бэлэн язгуурууд өгөгдсөн бол формул бүү бод. Сонголтын тоог

x

-ийн оронд тавиад

0

гарч байгаа эсэхийг шалга.

x^2-5x+6

дээр

x=2

:

4-10+6=0

, тохирлоо. Нэг тоо таарахгүй бол тэр сонголт бүхэлдээ унана.

Бодлого 1

x^2-5x+6=0

тэгшитгэлийг бод.

Эхлээд өөрөө оролдоод үз.

Бодлого 1б. Бутархай язгуур

2x^2+3x-2=0

тэгшитгэлийг бод.

Эхлээд өөрөө оролдоод үз.

Бүхэл язгууртай бодлогод үржвэрт задлах нь формулоос хурдан:

x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0

. Гэхдээ эргэлзвэл

D

-тэй формул найдвартай.

4Үржвэрт задлал ба дутуу тэгшитгэл

Язгуурууд нь сайхан бүхэл тоо бол үржвэрт задлах нь формулоос хурдан. Санаа нь: $x^2+px+q=0$ -д нийлбэр нь $-p$ , үржвэр нь $q$ болох хоёр тоо ол.

Жишээ нь $x^2-7x+12$ : үржвэр $12$ , нийлбэр $7$ болох тоо нь $3$ ба $4$ . Тэгэхээр $(x-3)(x-4)=0$ .

x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2=(x-x_1)(x-x_2)

задлалын ерөнхий хэлбэр

Дутуу (бүрэн бус) квадрат тэгшитгэл гэж $b=0$ эсвэл $c=0$ байх тохиолдол. Эдгээрийг формул хэрэглэлгүй шууд бодно:

ax^2+c=0\;\Rightarrow\;x^2=-\frac{c}{a}

b=0

үед

ax^2+bx=0\;\Rightarrow\;x(ax+b)=0

c=0

үед:

x=0

эсвэл

x=-\tfrac{b}{a}

Бодлого 1в. Дутуу тэгшитгэл

3x^2-12x=0

ба

x^2-9=0

тэгшитгэлүүдийг бод.

Эхлээд өөрөө оролдоод үз.

ЭЕШ-ийн заль.

3x^2-12x=0

дээр хоёр талыг

x

-д хуваавал

x=4

ганцаараа үлдэнэ. ЭЕШ 'зөвхөн

4

' гэсэн сонголтыг яг үүний тулд тавьдаг.

x

-д хуваахгүй, хаалтнаас гаргаж задал:

x=0

язгуур алдагдахгүй.

x^2=9

бол хариу нь

x=\pm3

. Зөвхөн

x=3

гэж бичвэл нэг язгуур алдана. Харин

x^2=-9

бол бодит язгуур огт байхгүй.

5Параметртэй бодлого (ЭЕШ-ийн дуртай)

ЭЕШ-д ' $m$ -ийн ямар утганд тэгшитгэл нэг язгууртай вэ?' гэх мэт асуулт байнга гарна.

Гол санаа: язгуурын тоо нь зөвхөн $D$ -ийн тэмдгээс хамаардаг. Тиймээс нөхцөлийг $D$ -ээр бичнэ. Нэг (давхар) язгууртай байх нөхцөл нь $D=0$ .

Бодлого 1г. Параметр

x^2-6x+m=0

тэгшитгэл давхар (нэг) язгууртай байх

m

-ийг ол.

Эхлээд өөрөө оролдоод үз.

ЭЕШ-ийн заль. Параметр

x^2

-ийн өмнө байвал, жишээ нь

(m-1)x^2+2x+1=0

,

m=1

үед тэгшитгэл шугаман болж

2x+1=0

ганц язгууртай болно.

D=8-4m=0

-оос гарах

m=2

-оос гадна

m=1

-ийг шалгахаа бүү март.

6Виетийн теорем

Язгуурыг бодолгүйгээр тэдгээрийн нийлбэр ба үржвэрийг коэффициентээр илэрхийлж болно. Үүнийг Виетийн теорем гэнэ:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

язгуурын нийлбэр

x_1 x_2=\frac{c}{a}

язгуурын үржвэр

Энгийнээр: Хоёр тоо нуусан битүү хайрцаг бий гэж бод. Виет хайрцгийг онгойлгохгүйгээр 'нийлбэр нь хэд, үржвэр нь хэд' гэдгийг хэлж өгдөг. Олон бодлого зөвхөн энэ хоёрыг л асуудаг тул хайрцгийг онгойлгох (язгуур бодох) шаардлагагүй.

Чит код

$a+b+c=0$ бол нэг язгуур нь $1$

x=1

тавихад

a+b+c

гарна. Тэгэхээр

a+b+c=0

бол

x_1=1

, нөгөө нь Виетээр

x_2=\dfrac{c}{a}

.

2x^2-8x+6=0

:

2-8+6=0

, тиймээс

x_1=1

,

x_2=3

. Мөн

a-b+c=0

бол

x_1=-1

,

x_2=-\dfrac{c}{a}

.

Маш олон бодлогод $x_1^2+x_2^2$ мэтийн илэрхийлэл асуудаг. Язгуурыг бодохгүйгээр Виетээр дамжуулан гаргадаг гол арга:

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2

нийлбэр ба үржвэрээр илэрхийлэх

Бодлого 2

2x^2-8x+6=0

тэгшитгэлийн язгуурын хувьд

x_1^2+x_2^2

-ыг ол.

Эхлээд өөрөө оролдоод үз.

ЭЕШ-ийн заль. Виетийн нийлбэр

x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}

. Хасах тэмдгийг мартвал

2x^2-8x+6=0

дээр

-4

гарна. ЭЕШ яг энэ

-4

-ийг сонголтод тавьдаг. Мөн

a\neq1

үед

a

-д хуваахаа бүү март.

7Парабол ба түүний орой

$y=ax^2+bx+c$ функцийн график бол парабол. Түүний орой (хамгийн доод эсвэл дээд цэг)-ийн $x$ координат нь:

x=-\frac{b}{2a}

параболын оройн абсцисс

$a>0$ үед парабол дээшээ нээгдэх тул орой нь хамгийн бага утга. $a<0$ үед доошоо нээгдэх тул орой нь хамгийн их утга.

Энгийнээр:

a>0

үед парабол аяга шиг дээшээ нээгдэнэ. Аяганд хийсэн бөмбөлөг хамгийн доод цэг буюу оройд очиж тогтоно.

a<0

бол аягыг хөмөрсөн, орой нь хамгийн өндөр цэг болно.

Тэр утгыг олохдоо $x=-\dfrac{b}{2a}$ -ыг функцэд буцааж орлуулна.

Чит код

Орой бол язгууруудын яг дунд

Парабол тэгш хэмтэй тул оройн

x

нь хоёр язгуурын дундаж:

x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}

.

y=(x-1)(x-5)

бол задлахгүйгээр орой

x=3

, хамгийн бага утга

y(3)=2\cdot(-2)=-4

.

Өөрөө оролдоод үз

D = b^2 - 4ac = 16

→ 2 язгуур: x = -1, 3 Орой: (1; -4).

a1b-2c-3

a

,

b

,

c

-г өөрчилж үз: парабол,

D

, язгуур, орой хэрхэн хөдлөхийг ажигла.

'Функцийн хамгийн бага/их утга' эсвэл 'парабол ямар цэгт оройтой вэ' гэсэн бодлогод

x=-\dfrac{b}{2a}

-ийг тэр даруй хэрэглэ.

a

-ийн тэмдгээр бага уу их үү гэдгийг шууд хэлж болно.

ЭЕШ-ийн заль. 'Хамгийн бага утгыг ол' гэвэл хариу нь

y

-ийн утга,

x

биш.

y=x^2-4x+7

дээр

x=2

гэсэн сонголт заавал байна. Гэтэл хамгийн бага утга нь

y(2)=4-8+7=3

.

8Өөрийгөө шалгах

Цээжлэх карт · дарж эргүүл (0/8)

Шалгах асуулт

x^2-5x+6=0

тэгшитгэлийн язгуурууд аль нь вэ?

Шалгах асуулт

2x^2-8x+6=0

тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр

x_1+x_2=?

Шалгах асуулт

x_1+x_2=4

,

x_1 x_2=3

бол

x_1^2+x_2^2=?

Шалгах асуулт

x^2-6x+m=0

давхар язгууртай байх

m=?

Шалгах асуулт

3x^2-12x=0

тэгшитгэлийн язгуурууд нь?

Шалгах асуулт

y=-x^2+6x-5

функцийн хамгийн их утга хэд вэ?

Цээжлэх зүйлс

Эхлээд стандарт хэлбэрт оруул: $ax^2+bx+c=0$ .
$D=b^2-4ac$ : эерэг бол 2, тэг бол 1, сөрөг бол язгуургүй.
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ ; бүхэл язгуурт задлал хурдан.
Дутуу тэгшитгэлд $x$ -д бүү хуваа, хаалтнаас гарга.
Виет: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ , $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ .
Орой $x=-\dfrac{b}{2a}$ ; их/бага утга нь $y$ , $x$ биш.